Очевидно, что высота, на которую подлетает оторвавшаяся от колеса капля, зависит, во-первых, от высоты точки отрыва над поверхностью Земли и, во-вторых, от вертикальной составляющей скорости капли.

Поскольку вертикальные составляющие скорости любой точки колеса одинаковы в двух системах отсчета — в системе, жестко связанной с Землей, и в системе, связанной с осью колеса и движущейся поступательно относительно Земли, — эти системы в рассматриваемой задаче совершенно равноправны. Выберем из них вторую.

$h = R( 1 — \cos \alpha) + \frac < v^<2>\sin^ <2>\alpha><2g>$. (1)

Если рассматривать последнее соотношение как уравнение относительно величины $\cos \alpha$, то его корни будут равны

причем эти формулы имеют физический смысл только при выполнении условий

$| ( \cos \alpha )_ <1,2>| \leq 1$.

Из последнего неравенства с учетом (1) следует, что 1) если $Rg/v^ <2>\leq 1$, то корень $( \cos \alpha)_ <1>$, имеет физический смысл при

а корень $( \cos \alpha)_<2>$ — при $h \geq 2R$;

2) если $Rg/v^ <2>> 1$, то $( \cos \alpha)_<1>$ имеет смысл при $h \leq 2R$, а $( \cos \alpha)_<2>$ смысла не имеет.

Следовательно, искомая высота подъема капель определяется выражением

Олимпиадные задачи по физике

Олимпиадные задачи по физике.

1. За последнюю секунду свободно падающее без начальной скорости тело пролетело ¾ всего пути. Сколько времени падало тело?

Решая совместно (1)и (2), получаем: , где t = t1+t2.

Учитывая, что t>t2, выбираем один корень t=2t2. По условию задачи t2=1 c.

2. К потолку движущегося лифта на нити подвешена гиря с m1 = 1 кг. К этой гире подвешена другая с массой m2 = 2 кг. Найти силу натяжения нити между гирей и лифтом, если сила натяжения между гирями равна 9.8 Н.

T0 ‑ m2 g = m2 a, a = T0/m2 – g,

T – m1 g – T0 = m1 a

3. С колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью v, слетает комок грязи. Радиус колеса равен R. На какую высоту над дорогой будет отбрасываться грязь, оторванная от точки А колеса? (угол α известен). Колесо двигается без пробуксовки.

Во время движения комка грязи под действием

силы тяжести горизонтальная компонента скорости

не изменяется. Когда комок грязи достигнет

максимальной точки траектории,

вертикальная составляющая его скорости

Учитывая, что , и , получаем

4. Металлический шар массы М заполнен резиной с массой m=M/4. Два таких шара, двигаясь в невесомости навстречу друг другу с равными скоростями v0, испытали центральное столкновение. Найдите скорости разлёта шаров, если известно, что незаполненные стальные оболочки сталкивались упруго, а скорость звука в резине существенно ниже скорости звука в стали.

Решение.

После столкновения оболочек

Резиновые шары изменят движение

не сразу, а лишь после почти

мгновенного столкновения и разлёта

оболочек. Оболочки начнут разлёт

с теми же по модулю и противоположными

по направлению скоростями, что и до удара.

После удара для каждого шара

выполняется закон сохранения импульса:

Шары будут двигаться как единое целое

со скоростью V равной:

.

5. Для определения скорости пули применяют баллистический метод. Пуля с массой m попадает в подвешенный на нити с длиной l ящик, заполненный песком, с массой М, причём m k, где k – коэффициент трения.

Движение вверх с замедлением a1. ma1 = mg sin α – mgk cos α, откуда: . , где t1 – время движения вверх .

2. Движение обратно: , .

Полное время —

12. Лодка подтягивается к высокому берегу озера при помощи верёвки, которую наматывают на цилиндрический барабан с постоянной скоростью v = 1 м/с. Барабан находится на высоте h = 6 м над уровнем воды. Найти скорость зависимость скорости верёвки от её длины l. Найти скорость верёвки при l = 10 м и перемещение из этого положения за 1 секунду.

Пользуясь теоремой Пифагора, находим x:

Скорость .

Скорость при l = 10 м равна 1,25 м/с.

Пройденный лодкой путь из этого положения за 1 с равен: x1 ‑ x2 ≈1,3 м.

13. Балда выпустил зайца одновременно с тем, как бесёнок побежал по “берегу морскому”. Заяц побежал по кратчайшему расстоянию, равному 2 вёрстам “в лесок до дому” со скоростью 30 вёрст в час. Возвращаясь, бесёнок видел зайца, мелькнувшего за первыми деревьями леса, но не придал этому значения. Найдите скорость, развиваемую бесёнком, если он может смотреть только вперёд, а радиус круглого моря равен 2 вёрстам.

За время, когда заяц пробежал

расстояние R, бесёнок одолел

расстояние αR. Поэтому скорость

бесёнка в α раз выше скорости зайца.

Изображённый на рисунке

прямоугольный треугольник позволяет

Значит скорость бесёнка примерно

равна 155 вёрстам в час.

14. Когда хвост удава поравнялся с пальмой, под которой сидела мартышка, она, решив измерить длину удава побежала вдоль него и положила банан рядом с его головой, затем побежала с той же скоростью в обратном направлении и положила второй банан у хвоста. Пришёл попугай и измерил расстояния от бананов до пальмы. Они оказались равны 16 и 48 попугаям. Найдите длину удава. Определите соотношение скоростей мартышки и удава.

Решая систему двух уравнений, получаем длину удава в попугаях (38,4), скорость мартышки в 5 раз больше скорости удава.

15. Пуля пробивает доску с толщиной h. Найдите время пробивания доски, если известны скорости пули до и после пробивания, а также тот факт, что сила сопротивления пули в доске прямо пропорциональна квадрату скорости.

16. Определить сопротивление цепи между точками а) А и Б; б) А и В; в) А и Г. Сопротивление каждого резистора равно R.

Задача решается сведением схемы к эквивалентной.

17. Катушка равномерно намотана на торроидальном сердечнике с радиусом r. Катушка имеет N витков. Ферритовый сердечник с сечением S имеет нелинейную кривую намагничивания с магнитной проницаемостью . Катушка охвачена проводником, замкнутым на конденсатор с ёмкостью С. Определить спектральный состав тока, протекающего через конденсатор, если в катушке протекает переменный ток . Гистерезисом в магнетике пренебречь.

Напряжённость поля Н в торроидальном сердечнике можно вычислить по формуле:

Ток через конденсатор является суммой гармонических составляющих с частотами ω и 3ω.

18. Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках A, B, C, зарегистрировали в момент времени tA > tB> tC звук от взрыва, который произошёл в точке О, лежащей на отрезке АС. Найдите АО, если АВ=ВС=L. Момент пуска часов не совпадает с моментом взрыва.

OB – OC = v(tB‑tC), OB = OC + v(tB‑tC),

OC + OC + v(tB‑tC) = L

Скорость, с которой распространяется взрывная волна v может отличаться от известной величины – скорости звука в воздухе при нормальных условиях, кроме того, неизвестно насколько наши условия отличаются от нормальных. Значит, стоит считать скорость v неизвестной.

L=AO – OB= v (tA – tB), , .

1. К концу вертикально висящей пружины длиной l прикрепили груз, в результате чего ее длина возросла до 2l. Предполагая, что удлинение пружины пропорционально нагрузке, найти угловую скорость груза, вращающегося на этой пружине по кругу в горизонтальной плоскости, если длина пружины в этом случае L. Массой пружины пренебречь.

Решение: Пусть жесткость пружины k, а масса груза m. Тогда условие равновесия груза, подвешенного на пружине, имеет вид: . При вращении по окружности с угловой скоростью пружина отклонилась от вертикали на угол . Радиус окружности, описываемой грузом, будет равен , а центростремительное ускорение . I закон Ньютона примет вид: . Откуда получим, что .

2. На горизонтальной поверхности стоят два одинаковых кубика массой M. Между кубиками вводится тяжелый клин массой m с углом при вершине. Чему равны ускорения кубиков? Трением пренебречь.

Решение: Пусть — путь, который проходит клин по вертикали, в результате клин приобрел скорость , а кубики — . Закон сохранения энергии дает . Кубик прошел путь , его ускорение при этом . Учитывая, что , получим .

3. В плоский конденсатор вдвигается с постоянной скоростью пластина из диэлектрика. Определите ток в цепи батареи, подключенной к конденсатору. Считать известным ЭДС батареи E, диэлектрическую проницаемость ε, высоту пластины h, площадь квадратных пластин конденсатора .

Решение: Рассмотрим два параллельно соединенных конденсатора площадью и , один из которых заполнен диэлектриком. Эквивалентная емкость такой системы . Напряжение на конденсаторах поддерживается постоянным, тогда ток в цепи батареи составит .

4. Одноатомный газ участвует в некотором процессе. Известно, что его внутренняя энергия пропорциональна квадрату объема. Найдите работу, которую совершает газ при сообщении ему количества теплоты Q.

Решение: Внутренняя энергия идеального газа в данном процессе пропорциональна квадрату объема: . Совместно с уравнением состояния идеального газа получим, что давление в данном процессе пропорционально объему . Работу газа при изменении объема от до можно посчитать как произведение среднего давления на изменения объема: . Из второго начала термодинамики: , тогда становится ясно, что .

1. Найти сопротивление цепи между точками А и В. Сопротивление каждого резистора известно и равно R.

Решение: Разобьем участок ВС на два параллельных участка с сопротивлением 2R каждый. Схема цепи преобразуется как показано на рисунке. Тогда общее эквивалентное сопротивление составит .

2. Легкий жесткий стержень с шариком массы m на конце свободно вращается в вертикальной плоскости вокруг точки O. Известно, что в верхней точке траектории модуль силы натяжения стержня равен T, и в два раза меньше, чем в нижней. Найдите отношение скоростей шарика в верхней и нижней точках траектории. Ускорение свободного падения равно g.

Решение: Пусть скорости шарика в верхней и нижней точках равны соответственно и , длина стержня R, масса груза m. I закон Ньютона для верхней и нижней точек имеет вид: , . Закон сохранения энергии запишется так: . Совместно решая эти уравнения, найдем , окончательно .

3. С балкона, находящегося на высоте 20 м, бросают мяч со скоростью 20 м/с. Мяч упруго ударяется о стену соседнего дома и падает на землю под балконом. Определите расстояние до соседнего дома, если время полета мяча 1,4 с.

Решение: При упругом отскоке от стены вертикальная компонента скорости сохраняется, а горизонтальная меняет знак. Траектория мяча (парабола) отражается относительно стены соседнего дома. Начальная скорость имеет горизонтальную и вертикальную составляющие: (м/с). Высота , с которой бросили мяч, связан с временем падения : , откуда найдем м/с. Расстояние до стены соседнего дома равно половине пути, который мяч пролетает по горизонтали со скоростью м/с за время с: м.

4. В цилиндрическом стакане с водой плавает брусок высоты L и сечения S1. При помощи тонкой спицы брусок медленно опускают на дно стакана. Какая работа при этом совершена? Сечение стакана , начальная высота воды в стакане тоже L, плотность материала бруска , где ‑ известная плотность воды.

Решение: Первоначально брусок плавает в стакане, погрузившись в воду на половину объема, поскольку . Для того, чтобы брусок, полностью погрузился в воду, его следует сместить вниз на (т. к. , то вытесненная жидкость тоже поднимется на и скроет брусок). При таком медленном перемещении внешняя сила в каждый момент времени уравновешивает дополнительную выталкивающую силу. Последняя при погружении линейно меняется от нуля до величины , а работа составит . Для того, чтобы брусок достиг дна, нужно его еще погрузить на расстояние , при этом совершив работу . Окончательно, полная работа равна .