Рабочим веществом теплового двигателя является одноатомный идеальный газ

С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс 1—2—3—4—1 (см. рис.). Во сколько раз n КПД данного цикла меньше, чем КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же максимальной и минимальной температурах?

Данный циклический процесс, изображенный на pV-диаграмме, является циклом теплового двигателя, поскольку обход цикла происходит по часовой стрелке. Для одного моля идеального одноатомного газа, согласно уравнению Клапейрона — Менделеева, а внутренняя энергия газа

Исходя из этого, минимальная температура в цикле достигается в состоянии 1 и равна а максимальная температура достигается в состоянии 3 и равна

Таким образом, КПД идеальной тепловой машины, работающей при данных максимальной и минимальной температурах, равен

КПД цикла, изображенного на pV-диаграмме, равен по определению где А — работа газа за цикл, a — количество теплоты, полученное газом за цикл.

Работа А равна площади цикла на pV-диаграмме, то есть площади параллелограмма 1—2—3—4. Как следует из рисунка,

Газ в данном цикле получает теплоту на участках 1—2 и 2—3, а отдает ее на участках 3—4 и 4—1. Количество теплоты, полученное газом за цикл и согласно первому закону термодинамики и выражению для внутренней энергии идеального одноатомного газа

Таким образом, и искомое отношение равно

Ответ:

Из второго начала термодинамики следует, что в тепловой машине обратимым образом может протекать только цикл Карно.

На рисунке изображен некоторый цикл в виде линий. То есть цикл считается обратимым, что противоречит второму началу термодинамики.

Если же цикл необратим, то по крайней мере часть его процессов неравновесны и применение к ним формул равновесной термодинамики не корректно.

Если бы ответ этой задачи был верным, мы смогли бы построить вечный двигатель второго рода.

Такой цикл (обратимый) в тепловой машине невозможен.

Задачу следует исключить из списка КИМов.

Вот тут я с Вами не соглашусь. Если изъять такую задачу из КИМов, то с равным успехом можно исключать термодинамику из курса физики в школе. Ведь там постоянно решают задачи о КПД различных тепловых двигателей, совершенно не задумываясь о природе обратимости процессов и о возможности рисовании линий на диаграммах типа . А решают вполне успешно. Поясню свою мысль.

В термодинамике мы умеем хорошо работать только с квазиравновесными или квазистатическими процессами, когда система проходит через последовательный ряд очень близких равновесных состояний. Это некоторая идеализация, как к ней приблизится очень подробно изложено, например, у Сивухина (в школе данные вопрос, действительно, всегда опускают).

Даже обычная изотерма не так проста, как кажется на первый взгляд. Для того, чтобы провести изотермический процесс, мы помещаем систему в термостат. И тут начинаются чудеса, система начинает обмениваться с термостатом теплом, хотя они вроде имеют одинаковые температуры. Ответ заключается в том, что мы строим изотерму из последовательности точек, соответствующих одинаковой температуре, постепенно уменьшая расстояние между ними, как бы сгущая их, конечно, при этом время процесса значительно увеличивается. Тоже относится и к адиабате.

Из таких изотерм и адиабат мы умеем строить цикл Карно, который, как Вы отметили, является обратимым. Тем самым мы верим в обратимость адиабат и изотерм. Но поскольку адиабата и изотерма имеют разные наклоны на плоскости , мы можем приблизить любую непрерывную линию последовательностью очень маленьких кусочков различных адиабат и изотерм. Например, для процесса при постоянном давлении имеем то, что изображено на рисунке (изотермы нарисованы красным, а адиабаты — зеленым). Тем самым мы умеем необратимо проводить любой процесс, изображаемый непрерывной линией на на диаграмме . Иначе говоря, любой процесс может быть построен из кусочков цикла Карно. Конечно, все эти детали остаются за рамками школьного образования, но решать такие задачи школьники должны и умеют.

Теорема Карно говорит о том, что КПД цикла Карно не зависит от устройства машины и типа рабочего тела, и что любой другой двигатель с такими же максимальной и минимальной температурами будет иметь меньший КПД. Противоречия со вторым началом я не вижу.

Вы правильно отметили, что в некоторых вузовских учебниках эти задачи опускаются. Более того, по этому вопросу этому в разных учебниках высказываются прямо противоположные суждения.

Я проанализировал эти противоречия. На основании второго начала термодинамики мне строго удалось доказать, что обратимым образом в тепловой машине могут протекать только циклы, состоящие из изотерм и адиабат. В тепловой машине существуют только две температуры — температура нагревателя и температура холодильника.

Представьте себе, что мы достаточно долго приводили рабочее тело в контакт с холодильником, и оно приняло температуру холодильника. После того приведем его в контакт с нагревателем. Вопрос: «Какую температуру будет иметь рабочее тело?». Разумеется температура рабочего тела в разных его местах будет различной. Так о какой температуре рабочего тела может идти речь? Налицо неравновесное состояние рабочего тела, и оно будет сохраняться до тех пор пока все рабочее тело не примет температуру нагревателя (в принципе бесконечно долго). Таким образом, процессы в тепловой машине (кроме изотермического и адиабатического) будут состоять из неравновесных состояний. Применять формулы равновесной термодинамики нельзя.

Если Вас заинтересует этот вопрос, я могу по электронной почте прислать вам мои подробные доказательства по этому вопросу.

Не совсем понимаю, почему Вы считаете, что в произвольной тепловой машине имеются только две температуры? При решении подобных задач, безусловно, рассматриваются не реальные тепловые двигатели, а идеализированные. В этом контексте любой тепловой машине попросту соответствует некоторый квазиравновесный цикл. Как было показано в предыдущем сообщении любой такой цикл может быть построен из последовательности «мини»изотерм и «мини»адиабат, приближен «зубчатой» линией. Для технической реализации, конечно, понадобится огромное количество термостатов со всевозможными температурами и адиабатическая оболочка. Займет такой процесс бесконечно много времени.

В общем, я имею в виду то, что всегда возможно с любой степенью точности провести рабочее тело через любую непрерывную последовательность равновесных состояний. То, что рисуется на диаграммах является как бы пределом бесконечной точности, идеалом.

После построения данного процесса при решении задач мы, конечно, «забываем» о сложном устройстве данных линий, и в полной мере можем считать их квазиравновесными, как и адиабаты с изотермами, а значит, для них можно использовать формулы равновесной термодинамики.

В данной задаче предлагают сравнить КПД конкретной тепловой машины и КПД цикла Карно, у которого температура нагревателя совпадает с максимальной температурой рабочего тела в цикле, а температура холодильника холодильника — с минимальной. Вот и все.

Рассуждения, которые Вы привели, конечно, я читал раньше и у Базарова и у Вукаловича с Новиковым и у некоторых других. К сожалению, они представляют собой умозаключения не основанные на втором начале термодинамики. Именно поэтому у школьников не возникает вопросов и они лихо решают подобные задачи (они просто не знают второго начала). В методических пособиях задачи на вычисления КПД циклов помещают в раздел «второе начало», однако при решении этих задач способом, который Вы используете нет необходимости в знании второго начала. По-моему, это настораживает.

Меня настораживают в Ваших доказательствах два обстоятельства:

1. Замена некоторого бесконечно малого процесса бесконечно малыми отрезками изотермы и адиабаты (представим, что это будет так). Но разве мы не можем представить себе змея-горыныча, избушку на курьих ножках, скатерть-самобранку и многое другое, чего в природе не существует.

2.Разбиение среды на бесконечное число холодильников и нагревателей. Холодильник и нагреватель — тела с бесконечно большой теплоемкостью (при получении ими любого конечного количества тепла их температура не меняется). При разбиении даже бесконечности на бесконечное число частей далеко не всегда получается бесконечность. Другими словами Ваши маленькие «холодильники» будут нагреваться сами, практически не меняя температуру рабочего тела, а «нагреватели

Приведенное выше построение, конечно, является идеализацией. Иметь бесконечное количество термостатов с бесконечными теплоемкостями и почти непрерывным «спектром» температур вряд ли кто-то может себе позволить. Однако эти рассуждения показывают, как в принципе обратимо провести процесс, очень похожий со стороны на нужный нам, например, изобарический. Похожесть заключается в том, что у нас получается тоже самое конечное изменение внутренней энергии, да и давление в пределе действительно остается неизменным. Поэтому эти построения позволяют чертить на диаграмме горизонтальную линию. И дальше работать с ней, как с равновесным процессом.

Я согласен с тем, что многие школьники не имеют представлений об обратимости процессов, о втором начале термодинамики, не задаются вопросом, что реально происходит с газом, например, при его расширении, не всегда спрашивают себя, можно ли применять ту или иную формулу, но, мне кажется, что это и не нужно. С приведенными выше оговорками, о которых, конечно, школьники скорее всего не знают, все формулы работают. Школьники демонстрируют на экзамене первичные навыки в термодинамике. Кто сдает физику, скорее всего прослушает соответствующий университетский курс по этому предмету, где его знания расширят до необходимого уровня. Если исключать такую задачу из КИМов, то зачем разбирать данные задачи в школе, это бессмысленно тогда. Это просто первичный уровень знаний. Нельзя же сразу узнать все, это просто не возможно.

Алексей! Прошу извинить меня за мою невнимательность. Дело в том, что я машинально нажал «отправить», не закончив своей мысли.

Вы пишите, что не видите противоречия между результатами Ваших вычислений и вторым началом термодинамики. Сейчас я их Вам покажу. В условии задачи не случайно сказано, что газ одноатомный. Это позволяет нам вычислить внутреннюю энергию. Но,если бы вместо одноатомного газа взять двухaтомный, то его энергия одного моля будет 5/2PV. Тогда для того же цикла, но с двухатомным газом КПД будет другим.

Теперь возьмем две машины одну с одноатомным газом, другую — с двухатомным . О одной из них по Вашим расчетам КПД больше чем у другой. Пусть машины работают с одним и тем же холодильником, и одним и тем же нагревателем и совершают одну и ту же работу. Если в одной машине проводится прямой цикл, а в другой обратный, то ода из них приводит в движение вторую. В сумме две машины не совершают работы. Если у них разный КПД (а так получается по вашему решению), то машина с большим КПД, если она работает в прямом цикле, получает от нагревателя, тепла меньше, чем отдает ему машина, работающая в обратном цикле. Таким образом тепло будет передаваться от холодильника к нагревателю без совершения работы. Что противоречит второму началу термодинамики.

Решение подобных задач подобным образом все равно, что рассчитывать, кто победит в кулачном бою Поветкин или Илья Муромец.

Вы опять говорите про один нагреватель и один холодильник, но для данного конкретного цикла передача тепла к рабочему телу и от него идет при разных температурах, так что я пока не понимаю, как Вы тут обобщаете теорему Карно.

Давайте выпишу свои тезисы, на которые опираюсь:

1) Квазиравновесный (квазистатический) процесс — это процесс, идущий через непрерывную последовательность равновесных состояний, то есть состояний, для которых мы имеем право вводить описание при помощи конечного числа термодинамических параметров. Иначе говоря, квазиравновесные процессы мы можем изображать на диаграммах типа непрерывными линиями.

2) Любой квазиравновесный процесс является обратимым. Для замкнутого процесса выполняется равенство Клаузиуса (изменение энтропии системы равно нулю).

3) Если провести один цикл в прямом направлении, а другой в обратном, противоречия со вторым началом термодинамики не произойдет.

Я тут не поленился и провел следующий достаточно забавный расчет. Конечно, я не стал его делать для приведенного здесь цикла, а взял цикл немного попроще, он изображен на рисунке. Я провел прямой цикл с одноатомным газом и обратный цикл с двуатомным газом. Далее, я произвольной изотермой разделил цикл на два куска (), одну половину (более горячую) я условно назвал «нагревателем», а вторую, соответственно, — «холодильником».

И далее посчитал, как в итоге (после обоих циклов) меняется внутренняя энергия моих термостатов (для этого сложил теплообмены по обоим циклам с учетом знаков, знаки +/- на рисунке обозначают забиралось или отдавалось тело термостату). Ответ получился ожидаемый. И там и там ноль, в независимости от того, где произведено разделение изотермой. В общем случае, откровенно говоря, лень это делать. Так что смотрите, получается что КПД разные, а вроде все хорошо 🙂

Мне представляется, что наши разногласия заключаются в том, что Мы как-то по разному представляем себе второе начало термодинамики. Вы вообще на него не ссылаетесь. Поэтому я позволю себе его процитировать в моем понимании: «Невозможен (ни при каких условиях)такой замкнутый процесс (цикл), при помощи которого можно было бы передать тепло от тела более холодного к телу более горячему без совершения внешними телами положительной работы над рабочим телом (компенсационный процесс)».

На основе второго начала термодинамики можно доказать следующую теорему: «КПД всех обратимых машин (а не только цикла Карно), работающих с одинаковыми нагревателями и холодильниками равны между собой». То есть КПД обратимого цикла не зависит ни от формы цикла, ни от рода вещества, из которого состоит рабочее тело, а определяется только температурой нагревателя и холодильника.

Логически безупречное доказательство этой теоремы Вы можете посмотреть у Савельева.

Теперь вернемся к Вашему решению.

Вы не случайно указали в условии, что газ одноатомный. Для двухатомного газа ответ будет другой, так как у него другое число степеней свободы. То есть из вашего решения следует, что у одинаковых обратимых циклов с разными рабочими телами будут разные КПД. Это противоречит только что приведенной (и доказанной) теореме, а,следовательно, и второму началу термодинамики. В доказательстве теоремы не фигурируют никакие ограничения относительно устройства машины, следовательно это доказательство будет справедливым для любых машин: и для машин с одним нагревателем и холодильником, и для Ваших «мини»-изотерм и «мини»-адиабат.

Наконец о Ваших тезисах. Тезисы нужно не голословно провозглашать, а доказывать на основе законов физики. Ни одной ссылки на какие-то законы я в Вашем рассмотрении не нашел.

Кстати, у Клаузиуса не «равенство» а «неравенство».

У Клаузиуса нестрогое неравенство, которое для обратимых циклов обращается в равенство. В частности, для цикла Карно с одним нагревателем и одним холодильником оно имеет вид: . В качестве ссылки приведу Сивухина, хотя, наверняка, это есть и у Савельева.

Теорема Карно, о который Вы говорите, и ее доказательство мне хорошо знакомы, как и формулировка второго начала термодинамики, я с ними и не спорю. Но вот про то, чтобы напрямую применить эту теорему к произвольному обратимому циклу, так нельзя. Тепловая машина, которая там обсуждается обладает одним нагревателем и одним холодильником. Это существенно для доказательства. Что есть теплое и горячее, когда у нас не два термостата?

Чтобы быть не голословным, приведу следующие интересные выкладки. Вы когда-то верно писали в комментариях к другой задаче, что тепло — это функция процесса, а не функция состояния. Предлагаю рассмотреть процесс из моего предыдущего сообщения (как более простой) и нарисовать переданное газу тепло, как функцию температуры. При этом я считаю, что проводится цикл 1-2-3-4-1 в прямом направлении с одноатомным идеальным газом (синяя линия), а затем обратный цикл 1-4-3-2-1 с двухатомным идеальным газом (красная линия). Увеличению тепла соответствует передача его от термостатов к рабочему телу, уменьшение — передача в обратном направлении. Получается следующая картинка. Зеленой линией, как Вы, наверное, уже догадались, нарисована сумма всех графиков (с учетом направления теплопередачи). То есть в результате двух циклов (обратного и прямого с разными рабочими телами и, соответственно, с разными КПД) никакой работы не совершено, но и никакого тепла не передано. Можно сказать, что каждый термостат остался при «своем».

Кстати, ради интереса, предлагаю Вам посмотреть на КПД цикла очень похожего на цикл Карно, но с тремя термостатами. С ним вроде все должно быть в порядке, но КПД его уже так просто не выражается.

Надеюсь эти рассуждения убедят Вас в моей правоте. Что на счет определения квазиравновесного процесса и утверждения от обратимости таких процессов, смотрите, например, у Сивухина, том 2, параграф 29. Но, в принципе, это терминология, которая должна быть практически в любом пособии.

Добрый день, Алексей!

Увы, Ваши рассуждения меня совершенно не убедили. Из «теоремы Карно» (я беру ее в кавычки потому, что в работе Карно такой теоремы не только нет, но и не может быть, так как ее доказательство основано на втором начале термодинамики, которое было сформулировано, по крайней мере после смерти великого Карно) следует однозначно, что КПД обратимой тепловой машины не зависит от формы, а определяется только температурой холодильника и нагревателя, то есть ответом Вашей задачи будет единица. Так что же Вы ответите продвинутому школьнику, который читал Савельева или Сивухина?!

Наша с Вами ошибка в споре состоит в том, что каждый из нас отстаивает свою точку зрения, не критикуя точку зрения оппонента. Попробую исправить эту ошибку, и становлюсь на Вашу точку зрения. Вы исходите из того, что в природе существует бесчисленное множество «мини»-нагревателей и «мини»-холодильников, то есть тел с бесконечно большой теплоемкостью (ведь ни холодильник, ни нагреватель не изменяют своей температуры при отдаче или получении тепла). Теплоемкость тела пропорциональна удельной теплоемкости, плотности тела и его объему. Если число «мини»-холодильников и «мини»-нагревателей стремится к бесконечности, то их объем, а, следовательно, и теплоемкость будут стремиться к нулю. Теплоемкость же рабочего тела конечна.

Таким образом, Ваши «мини»-нагреватели при передаче тепла рабочему телу не будут нагреть последнее, а будут охлаждаться сами. Если же Вы предположите конечные размеры нагревателей и холодильников, то Ваша «пилочка» никогда не образует гладкую кривую. Этих подробностей в рассуждениях можно избежать, если посмотреть на конечный результат Ваших рассуждений. «Всякий необратимый процесс можно представить как суперпозицию бесконечно малых обратимых процессов». Тогда зачем городить огород с обратимостью и необратимостью?! В том то и дело, что второе начало термодинамики запрещает это.

1. Реализацией модели бесконечного количества теромостатов является комната с закрытыми окнами и дверями, в которой в течение суток медленно изменяется температура от 18 до 22 градусов тепла. Циклический процесс в небольшом металлическом цилиндре с подвижным нетрущимся поршнем моделирует обратимый изобарный процесс; теплоемкость комнаты в пределах погрешностей измерений неотличима от бесконечно большой.

2. В пределах погрешностей измерений все наблюдаемые в опытах параметры реализованной модели цикла неотличимы от вычисляемых теоретически параметров идеальной модели.

3. Поскольку теория подтверждается опытами, идеальная модель соответствует наблюдаемой реальности и может применяться для ее описания.