ISopromat.ru

Задача

Кривошип ОА, вращаясь вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О, приводит в движение колесо II, которое катится без скольжения по неподвижному колесу I.

Найти скорость и ускорение точки В колеса II, для момента времени, когда угол α=45°,
если R=20 см, r=20 см, ω_OA=4 с -1 , ε_OA=2 с -2 (рис. 2.10).

Решение

Колесо II движется в плоскости чертежа, т.е. совершает плоскопараллельное движение.

По условию, колесо I неподвижно, значит, точка соприкосновения колес является МЦС для колеса II. Обозначим ее как C_V (эта точка не принадлежит кривошипу ОА). Скорость точки В определяется выражением

и направлена перпендикулярно отрезку ВС_V, в сторону вращения колеса II (рис. 2.11)

Для определения угловой скорости ω_II запишем выражение для скорости точки А.

С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу ОА. Скорость точки А, принадлежащей кривошипу, определяется выражением

и направлена ⊥ОА в сторону вращения кривошипа ОА. Из этих рассуждений следует:

Найдем скорость точки В, используя теорему о скоростях точек плоской фигуры. Для этого примем точку А за полюс.

Тогда
V_B=V_A+V_BA (векторно).
Величина и направление скорости точки А определяются из условий движения кривошипа ОА.
V_A=ω_OA×OA
и вектор V_A⊥ОА и направлен в сторону вращения кривошипа (рис. 2.12).

Скорость V_BA — это скорость точки В во вращательном движении вокруг полюса А.

Величина скорости
V_BA=ω_II×r=12×20=240 см/с
и этот вектор направлен ⊥ отрезку АВ в сторону вращения колеса II.

Чтобы сложить V_A и V_BA, перенесем вектор V_A в конец вектора V_BA. Соединяя начало вектора V_BA с концом вектора V_A, получим вектор V_B. Из построения:

Согласно теореме об ускорении точки плоской фигуры, ускорение точки В можно определить из выражения

где a_A — ускорение точки А, принятой за полюс;

a_BA — ускорение точки В во вращательном движении, вокруг полюса А.

Точка А – принадлежит колесу II и кривошипу ОА, движение которого известно, тогда

Ускорение a_BA (ускорение во вращательном движении) состоит из двух слагаемых:

Найдем ε_II по определению:

Подставляя числовые значения, получим

Ускорение точки В найдем, спроецировав все векторы уравнения

на выбранные оси координат ОХ и OY.

Углы, которые составляют вектор ускорения a_B с осями ОХ и OY, определим через направляющие косинусы.